Reméljük, hogy a hosszabb szünet után – vagy éppen a tavaszi szünet közepén – is szívesen folytatjátok a gondolkozást. Most küldünk először olyan feladatot, amihez kell valamennyi előismeret, ezt ∀-nel jelöljük. A mai levélből kimaradt a megoldásokat elválasztó sáv (túl nagy lett volna a levél mérete), óvatosan görgessetek. Ha mégsem jelenik meg a teljes levél, akkor nézzétek meg a honlapot.
Széf
Egy zár egy 4×4-es négyzet, melynek minden mezőjében a 0 szám áll. Van rajta néhány kerek nyomógomb is, mindegyik a körülötte lévő 2×2-es részhez tartozik. Ha megnyomjuk valamelyik gombot, akkor a hozzá tartozó részben a számok mindegyike 1-gyel nő. Megszereztük a kódot, mely az alábbi ábrán látható. A zár csak akkor nyílik, ha sikerül a 16 mező mindegyikén a megfelelő számot beállítanunk.
Biztosan mindegyikőtök ült már olyan asztalnál, amelyik billegett. Azon viszont mostanáig nem gondolkoztam, hogy vajon mi is történik a billegésnél. Hogyan billeg egy asztal? Hogyan lehet leírni ezt a mozgást? Milyen magasra emelkednek a lábak billegés közben? Ha négy lába van a billegő asztalnak, akkor mindig két stabil helyzete lesz a billegésnek?
Bár ezek a kérdések nem teljesen precízek, azt hiszem, érdekesebbek, mint a korrekten megfogalmazott kérdés. Ha van kedvetek, akkor gondolkozzatok ezeken a feladat elolvasása előtt vagy akár helyett.
Az animáción látható asztal billeg. Az asztal méretei a szokásosak, 75 cm magas, az asztallap 90×120 cm. Két, átellenes lábából is hiányzik egy kicsi (<2 cm), de nem tudjuk, hogy melyikből pontosan mennyi (a két láb hossza eltérő).
Láthatjuk, hogy a billegő asztalnak két stabil állapota van. A két stabil állapotban egyforma magasra emelkedik a két billegő asztalláb? Ha nem, melyik lesz magasabban?
A PictArt cég piacra dobta legújabb termékét, egy DIY alapú képkeretet. Ez egy négyzet alakú, fából készült üres keret, melyen 8 rögzítési pont van: a keret csúcsaiban és az oldalfelező pontokban. A csomagban kapunk 4 impozáns zsinórt is, melyeket a rögzítési pontok közé tudunk kifeszíteni, egy pontba csak egy zsinórvég rögzíthető. Ezután a zsinórok metszéspontjaiba akaszthatunk egy-egy képet egy erre kialakított kampó segítségével. (Ha kettőnél több zsinór is egy pontban metszi egymást, sajnos oda is csak egy kampót rögzíthetünk, tehát csak egy képet tudunk rá felakasztani.) Maximum hány képre elég ez a keret, azaz hány metszéspontja lehet a zsinóroknak?
Megoldás
Ha elkezdünk rajzolgatni, akkor néhány próbálkozás után találhatunk 4, sőt 5 metszéspontos konstrukciót is.
Javítható ez? Ha csak 2 zsinór van, azok legfeljebb 1 pontban, 3 zsinór legfeljebb 3 pontban metszheti egymást. Ha a negyedik metszi az összes előzőt, az 3 új metszéspontot jelent. Tehát 4 zsinórral 6 metszéspont érhető el legfeljebb.
Nézzük meg, hogyan lehetne 6 metszéspontot csinálni. Ez csak akkor lehetséges, ha mindegyik zsinór mindegyik másikat metszeni tudja. Ha elképzeljük, hogy felrögzítettük már az első zsinórt, csak olyan új zsinórral tudjuk ezt metszeni, melynek a 2 rögzítési pontja az első zsinórunk két különböző oldalán van.
Összesen 3 zsinórral kell metszenünk az elsőt, tehát az első zsinór mindkét oldalán 3-3 rögzítési pontnak kell lennie. Ez viszont elmondható minden zsinórról, tehát csak olyan helyzetben rögzíthetünk zsinórokat, hogy mindegyiknek mindkét oldalán 3 rögzítési pont van. Ez pontosan azt jelenti, hogy minden rögzítési pontot a vele szemköztivel kell összekötni. Ha ezeket a zsinórokat választjuk, akkor ezek egy pontban – a négyzet középpontjában – metszenék egymást.
A kívánt 6 metszéspont helyett csupán 1-et kapunk, tehát az 5 metszéspont tehát nem növelhető.
Törtek törtje (**)
Az 1, 2, 3, ..., 8 számokat kell elhelyezni az alábbi kifejezésben. Keressetek olyan elrendezést, hogy minél nagyobb legyen a tört értéke! Biztosak vagytok benne, hogy megtaláljátok a legnagyobbat? (Nullával nem oszthatunk.)
Sokan írtatok programot a kérdésre, mi most egy kézi megoldást mutatunk.
Megoldás
A konstrukció keresése közben az okozza a kihívást, hogy többféle ellentétes szempontnak szeretnénk megfelelni.
Gondoljuk meg, hogy mikor lesz egy tört nagy? Ha a számlálója nagy, és a nevezője kicsi. Tehát a nevezőben két egymáshoz közeli törtet kell keresnünk, de úgy, hogy ne használjuk el a legnagyobb számokat, maradjon belőlük a számlálóra is. Viszont az sem jó, ha a számlálóban csupa nagy szám marad, hiszen akkor a nagy számok hányadosai nem lennének igazán nagyok.
Mindent figyelembe venni kimerítőnek tűnik, ehelyett próbálkozzunk, nézzünk meg néhány törtet:
A nevező 1/8, ez csökkenthetőnek tűnik (például a 7-et és a 8-at megcserélve is nagyobb eredményhez jutunk). Sokan küldtétek ezt a megoldást is:
Itt a nevező 2/30, ami kb. fele az 1/8-nak. A nevezőben a 3/5-öt 5/7-re cserélve újra növelhető a tört értéke. De ez még mindig nem maximális, még mindig tudunk nagyobbat mutatni:
Ez az érték meglepően nagy. Vajon ez már a maximum? Van esély egyáltalán indoklásra?
Tényleg ez a maximum, az indoklás azonban kicsit technikai. A számláló maximális értéke: 8/1 + 7/2 = 11,5. Ha nem 385 lenne a maximum, akkor teljesülne az alábbi egyenlőtlenség:
Ezt átalakítva és használva a számlálóra vonatkozó becslést:
Csak akkor van esélyünk ilyen különbséget találni, ha a közös nevezőre hozás után a számláló eh-fg=1, és az fh szorzat legalább 33. Ha a két nevező 7 és 8, akkor 1/7-1/8 = 1/56 < 1/33 és 7/8-6/7 = 1/56 < 1/33, de sajnos mindkét esetben van olyan szám, amit kétszer használtunk. Hasonlóan az 1/6-1/7 = 1/42 < 1/33 és 6/7-5/6 = 1/42 < 1/33 sem megfelelő. Ha a két nevező 5 és 8, akkor 2/5 - 3/8 = 1/40 esetet ellenőriznünk kell, ekkor a tört értéke 340, ami kisebb 385-nél. A többi esetben sem kaphatunk nagyobb értéket, ennek végiggondolását a kedves Olvasóra bízzuk.
Segítségek a mai feladatokhoz (a segítségeket erre a kommentre írom meg válaszul):