minden·ki·jön – 11. nap

Térképrészlet · Lakótelep | Széf · Billeg-ballag

Ezt a levelet 17 órakor állítjuk össze, a billegő asztalos feladatban mindhárom lehetőségre pontosan ugyanannyi válasz érkezett. Hasonló élmény volt a feladaton is gondolkozni, a gondolkozás során többször is változott a tippem arról, hogy mi lesz majd a helyes válasz. Ha kíváncsiak vagytok, akkor a megoldásból kiderül.

A tegnapi széfes feladatban elrejtettünk egy easter egg-et is, ha esetleg ez elkerült titeket, akkor itt megtalálhatjátok a feladatot.

Térképrészlet

Találtunk egy vázlatos térképet:

Meg tudjuk határozni a B-ből D-be menő útvonal hosszát?

Lakótelep (*)

Egy lakótelepen 5×5-ös elrendezésben van 25 ház. A változatosság kedvéért 1, 2, 3, 4 vagy 5 emeletes házakat építettek úgy, hogy mindegyik fajta épület minden sorban és minden oszlopban egyszer szerepeljen.

A brutalista építészet egy rajongója körbejárta a lakótelepet és közben néhány helyről megnézte, hogy abból az irányból hány ház látszik. Egy ház pontosan akkor látszik, ha abból az irányból nézve nincs előtte magasabb ház.

Hogyan helyezkednek el a házak a lakótelepen?

Széf

Egy zár egy 4 × 4-es négyzet, melynek minden mezőjében a 0 szám áll. Van rajta néhány kerek nyomógomb is, mindegyik a körülötte lévő 2 × 2 - es részhez tartozik. Ha megnyomjuk valamelyik gombot, akkor a hozzá tartozó részben a számok mindegyike 1-gyel nő. Megszereztük a kódot, mely az alábbi ábrán látható. A zár csak akkor nyílik, ha sikerül a 16 mező mindegyikén a megfelelő számot beállítanunk.

Megoldás

Mivel a négy sarkon lévő mező értékét csak akkor tudjuk növelni, ha a 9 nyomógomb közül a megfelelő sarokban levőt nyomjuk meg, ezért ezeket a gombokat biztosan 3, 2, 4 és 3 alkalommal kell megnyomnunk. (A gombokra kékkel ráírtuk, hogy hányszor nyomtuk meg őket eddig.) A sarkok ezzel már rendben vannak, a következő számokat látjuk a záron:

A felső sorban sárga háttérrel jelölt két középső mezőn lévő számok értékét csak 2-2 gombbal tudjuk növelni: a megfelelő sarkon lévővel és a felső középsővel. Mivel a sarki gombokon már nem nyomhatunk többet, ezért a sárga mezők beálltásához csak a felső középső gombot nyomogathatjuk. Ez meg is tehető, a 7 és a 6 értékek beállításához összesen 4-szer kell megnyomnunk.

Ugyanez a gondolat mondható el az alsó sor és a két szélső oszlop két-két középső mezőjéről, ezeket is már csak a megfelelő zöld gomb segítségével tudjuk beállítani. Ezek elvégzése után körben minden mezőn a megfelelő szám áll. A négy középső mezőn lévő értéket kell még beállítanunk. A záron most a következő számokat láthatjuk:

Jól látszik, hogy nincs más dolgunk, mint a középső gombot megnyomni 2-szer, ezzel sikerül kinyitnunk a zárat.

Billeg-ballag

Az animáción látható asztal billeg. Az asztal méretei a szokásosak, 75 cm magas, az asztallap 90×120 cm. Két lábából is hiányzik egy kicsi (<2 cm), de nem tudjuk, hogy melyikből pontosan mennyi (a két láb hossza eltérő).

Láthatjuk, hogy a billegő asztalnak két stabil állapota van. A két stabil állapotban egyforma magasra emelkedik a két billegő asztalláb? Ha nem, melyik lesz magasabban?

Megoldás

Próbáljuk megérteni az asztal billegését. Először egészítsük ki az animációt. Mit látunk itt? Egyrészt a piros szakasz sosem nem mozog, hiszen a két hosszabb láb végig a talajon van.

Legyen a piros szakasz felezőpontja P. A P pont és a két rövidebb láb egy síkban vannak, ezt az animáción is jelöltük. P pont végig a talajon marad, nem mozdul el, másrészt ez a lábak felezőpontja, ezért az asztal lábaihoz viszonyított helyzete sem változik. Emiatt a tulajdonságai miatt a P pont fontos szerepet fog játszani a megoldásunkban.

Nézzük meg ezt a síkot külön, először úgy, mintha mind a négy láb azonos magasságú volna, egészítsük ki a két lábat az ábrán látható módon egy kék (x) és egy zöld résszel (y). Legyen x > y, ekkor az is igaz, hogy a > b, hiszen a² = d²+x², illetve b² = d² + y².

Amikor az asztal billeg, akkor mi történik ezen a síkon? Például ha az asztal balra dől, akkor a kék rész eltűnik és az a szakasz a talajra kerül. Hasonlóan jobbra dőlés esetén a b szakasz kerül a talajra.

Vizsgáljuk meg ezt a két helyzetet, de forgassuk el az ábrákat úgy, hogy az asztallap maradjon vízszintes. Máshogy fogalmazva, ne az asztal billegjen, hanem a talaj. Ekkor a következőt látjuk:

Mindkét esetben a levegőben lévő láb magassága a derékszögű háromszög lila színű szögével szemközti befogója. A két lila szög megegyezik, hiszen mindkét szög az a és b szakasz bezárt szögét egészíti ki egyenessé. A befogók aránya megegyezik az átfogók arányával.

Tehát az a láb lesz magasabban, ahol az átfogó hosszabb, ezt korábban láttuk, hogy a > b. Azaz a rövidebbik láb emelkedik magasabbra.

Bár a két magasság eltérő, a különbség szemmel nem látható, a két láb magasságának aránya maximum 1.000355 lehet.