minden·ki·jön – 4. nap

Sárkányok fejei · A π-raktár dobozai | Áramszünet · Mond Ryan grafikái

Köszönjük a sok ábrát, kedves megjegyzést, visszajelzést – jó volt veletek emailezni!

Kíváncsiak vagyunk, hogy nektek melyek voltak a kedvenc feladataitok a lenti öt közül. Ha van kedvetek, szavazzatok:

Sárkányok fejei

Shesha meghívja sárkány barátait a Himalájába egy tanácskozásra. Shesha-val együtt öten vesznek részt a tanácskozáson. A hagyományoknak megfelelően körben ülnek, és megvizsgálják a fejeiket. Shesha szólal meg először, majd tőle jobbra haladva szanszkrit nyelven a következőket mondják:

• A tőlem jobbra ülő द्वौ szomszédomnak átlagosan 7 feje van.

• A tőlem jobbra ülő द्वौ szomszédomnak átlagosan 9 feje van.

• A tőlem jobbra ülő द्वौ szomszédomnak átlagosan 8 feje van.

• A tőlem jobbra ülő द्वौ szomszédomnak átlagosan 8 feje van.

• A tőlem jobbra ülő द्वौ szomszédomnak átlagosan 9 feje van.

Sajnos a tolmács nem fordította le, hogy a द्वौ milyen számot jelent. Hány feje van összesen a sárkányoknak?

A π-raktár dobozai (*)

Raktárunkat felülnézetből látjuk. Az éjszakai műszakban nem a megfelelő helyre helyezték el a dobozokat, ezért mielőtt kiderül a hiba, szeretnénk megcserélni a zöld és barna dobozokat. A földön tologathatjuk őket, bármelyik elérhető üres helyre (négyzetre). Egy négyzeten egyszerre csak egy doboz fér el, és nem tudjuk felemelni, átemelni őket egy másik doboz felett kézi erővel, a targoncás pedig sajnos ma nem dolgozik.

Át tudod rendezni a dobozokat? (Online is ki tudod próbálni.)

Ha sikerült, hány mozgatással rendezted át őket? (Egy mozgatásnál nem csak szomszédos helyekre mozgathatunk, hanem bármelyik elérhető helyig áttolhatjuk a dobozt.)

Azon is érdekes lehet elgondolkozni, hogy tudod-e csökkenteni a mozgatásaid számát.

Áramszünet

Amikor Luca reggel elindult az iskolába, mindhárom órája a pontos időt mutatta. Napközben azonban egyszer áramszünet volt, így amikor délután hazaérkezett, a falióra negyed ötöt, a rádió órája 16:25-öt, az asztalán lévő digitális óra pedig 14:40-et mutatott.

Az áramszünet a falióra működését nem befolyásolja, viszont a digitális óra és a rádió órája kikapcsol, és amikor visszajön az áram, akkor a rádió órája 12:00-tól újraindul, míg a digitális órája attól az időponttól halad tovább, ahol az áramszünet kezdetekor leállt.

Mettől meddig tartott az áramszünet Lucáéknál?

Megoldás

Nézzük meg, mit is jelentenek a különböző működési módok pontosan.

A faliórát nem befolyásolja az áramszünet, ez tehát a pontos időt mutatja: Luca 16:15-kor ért haza.

A rádió órája 12:00-tól indul indult újra. Mivel jelenleg 16:25-öt mutat, 4:25 telt el azóta, hogy visszajött az áram.

A digitális óra most 14:40-et mutat és 4:25 perce ismét van áram, ezért 10:15-et mutatott, mikor újraindult. Mivel ez az óra attól az időponttól indult tovább, amikor az áramszünet elkezdődött, kiderült, hogy ez 10:15-kor volt.

De meddig tartott az áramszünet? Most a pontos idő 16:15, és azt is tudjuk, hogy 4:25 perce van újra áram. Tehát az áramszünet vége 11:50-kor volt. Az áramszünet tehát 10:15 – 11:50-ig tartott.

Mond Ryan grafikái (*)

Mond Ryan – neves grafikus – olyan rajzokkal kísérletezik, amelyeket egyetlen szakaszláncolattal (töröttvonallal) hoz létre. Éppen hatszakaszos korszakát éli. Észrevette, hogy minél több háromszög jelenik meg egy-egy képén, annál több pénzért sikerül azt eladnia. A nem átfedő háromszögeket számolta, amik belseje üres, nem szeli át másik vonal. Sikerült már ötháromszöges grafikákat alkotnia, de itt nem állna meg.

Próbálj 6-szakaszos töröttvonallal minél több háromszöget létrehozni, hogy ihletet meríthessen belőle a mester! Hányat sikerült?

Megoldás

7 háromszög elérhető. Ne nézd tovább, ha ennek tudatában még szívesen próbálkozol :)

Ezt a rejtvényünket Kobon Fujimara Kobon-háromszög probléma néven ismertté vált kérdése ihlette. Ő azt vetette fel, hogy mennyi a legtöbb ilyen típusú, nem átfedő háromszög, amelyet n egyenessel létrehozhatunk. Vagyis ő nem egymáshoz csatlakozó szakaszokról, hanem különálló egyenesekről beszél. Azóta többen foglalkoztak már a kérdéssel, máig nem született képlet n egyenesre. Nézzük most a mi feladványunkat:

Érdemes lehet elkezdeni kísérletezni kevesebb szakasszal. Négy szakasszal még kevésbé tűnik izgalmasnak a helyzet, nézzük, mit tudunk kihozni öt szakaszból! Egy kis próbálgatással könnyen eljuthatunk egy csillagötszöghöz, amivel 5 háromszöget már meg is valósítottunk:

Hat szakasszal a helyzet sokkal érdekesebbé válik. Fejlesszük ezt tovább? Megér egy próbát: Mi lenne, ha a csillagötszög utolsó szakaszát meghosszabbítanánk?

Többféleképpen is befejezhetjük úgy, hogy kettővel több háromszöget kapjunk. Egy lehetséges befejezés látható a jobb oldali ábrán. Lényegében ugyanezt az ábrát kaptuk az egyik – talán legfiatalabb, negyedikes – olvasónktól (további ábrákat itt láthattok):

Másként is gondolkodhatunk. Érdekes maga a kísérletezés, közben tapasztalatokat gyűjtünk, érdekes rajzok keletkeznek, és újabb érdekesnek tűnő kérdések merülhetnek fel bennünk. Például hat csatlakozó szakasszal hány háromszöget tudunk gyártani úgy, hogy a háromszögeken kívül nem keletkezik más sokszög, mint a fenti példában a fehér ötszög? Megérezzük, hogyan érdemes húzni a vonalakat. Nem mindegy például, hogyan vágunk el már létező háromszögeket, nem feltétlenül jutunk több háromszöghöz…

Kobon Fujimara feltétele mellett, 6 egyenessel sem lehet hétnél több háromszöget képezni (az indoklás nehéz), így esetünkben is ez a maximum. Hét egyenessel létrehozható 11 Kobon-háromszög. Nekünk, a mi feltételünkkel, vagyis csatlakozó szakaszokkal eddig 10 háromszöget sikerült rajzolni. Vajon lehet így is tizenegyet? Ha kedved van foglalkozni ezzel és sikerrel jársz, feltétlenül küldj nekünk képet!